Broj dijagonala i zbir uglova u mnogouglu

Dijagonala predstavlja duž koja spaja dva nesusedna vrha mnogougla. Pošto svaki vrh ima dva susedna vrha, broj dijagonala koje se mogu povući iz svakog vrha (ne mogu ni u same sebe) je d=n-3 pri čemu je n broj vrhova (stranica, uglova) mnogougla. Pošto u mnogouglu imamo n vrhova, iz svakog možemo povući n-3 dijagonale, a duž AB je isto što i BA, ukupan broj dijagonala u mnogouglu je D=n(n-3)/2.

Uglovi u mnogouglu. Zbir uglova u mnogouglu se računa po obrascu S=(n-2)x180 gde je n broj stranica mnogougla. Svaki ugao pravilnog mnogougla (pravilan mnogougao ima jednake sve stranice i sve uglove) možemo računati po obrascu S/n gde je S ukupan zbir uglova. Takođe, svaki unutrašnji ugao možemo naći i preko spoljašnjih uglova. Naime, zbir spoljašnjih uglova je 360 stepeni, odakle je svki spoljašnji ugao 360/n, a pošto je zbir spoljašnjeg i unutrašnjeg ugla 180 na taj način možemo naći svaki unutrašnji ugao mnogougla, a množenjem sa brojem strana možemo odrediti i ukupan zbir uglova u mnogouglu.

Primer 1.

Naći broj dijagonala i zbir uglova u dvanaestouglu!

Rešenje: n=12

D=12x(12-3)= 12×9=108

S=(12-2)x180= 10×180=1800

Primer 2.

Unutrašnji ugao pravilnog mnogougla je 170 stepeni. Koliko dijagonala ima taj mnogougao?

Rešenje: Spoljašnji ugao ovog mnogougla je 180-170=10. Pošto je zbir spoljašnjih uglova 360 tada je u pitanju 360/10 mnogougao sa 36 uglova n=36, a odatle računamo D=36x(36-3)=36×33=1188.