Matematička arheologija

Prvo savezno takmičenje iz matematike u SFR Jugoslaviji je održano u Beogradu 14. juna 1970. Evo kakve zadatke su radili tadašnji takmičari (sedmaci i osmaci su radili zajedno).

Zadaci

1. Dešifrovati jednakost: abcd = (5c+1)², tj. Naći takav četverocifreni broj abcd koji je jednak kvadratu broja (5c+1). Slova a, b, c, d označavaju nepoznate cifre. Postupak obrazložiti.
2. Avion je leteo iz A u B i to prvo brzinom 180 km/h, a kada mu je još preostalo da preleti 320 km manje nego što je već bio preleteo, povećao je brzinu na 250 km/h. Na taj način je srednja (prosečna) brzina aviona na celom putu AB bila 200 km/h. Odredi dužinu puta AB.
3. Milan je nacrtao paralelogram ABCD, zatim je označio tačkom M središte stranice BC, a tačkom N središte stranice CD pa je onda izašao iz sobe. Tada je njegova sestra Nada prišla crtežu i izbrisala sve osim tačaka A, M i N. Pomozite Milanu da rekonstruiše ceo crtež, tj. da nađe i tačke B, C i D.
4. Kraci trapeza su 39 mm i 45 mm, a dijagonala koja je normalna na duži krak ima dužinu 60 mm.

Konstruisati taj trapez, pa mu izračunati obim i površinu.

Rešenja

1. Prema uslovu zadatka treba da bude 1000a+100b+10c+d=25c²+10c+1, odakle je 25(40a+4b-c²)=1-d. Leva strana jednakosti je deljiva sa 25 pa mora biti i desna odakle je d=1.  Odatle je sadržaj zagrade jednak nuli, tj c² je deljivo sa 4 i sledi da je c=8, b=6 i a=1, odnosno traženi broj je 1681.
2. Ako je AB ceo put, a sa D označimo tačku kad je avion povećao brzinu, tada je vreme potrebno za put AD (x+320)/180, gde je sa x označen deo puta koji je avion preleteo brzinom od 250 km/h. Dakle, da bi preleteo put DB avion je leteo x/250 časova. Kako je prosečna brzina aviona duž celog puta AB iznosila 200 km/h, dobijamo jednakost 2x+320=200((x+320)/180+x/250), odakle se dobija x=400. Dakle, dužina puta je 1120 km.
3. Središte E duži MN pripada dijagonali AC i duž EC je četvrtina dijagonale AC. Ako je S presečna tačka dijagonala i F središte duži AS, onda je dijagonala AC tačkama E, S i F podeljena na četiri jednaka dela. Tačka E se neposredno može konstruisati, pa kako je i A data tačka, možemo lako konstruisati tačke C i S. U trouglu BCD je MN srednja linija pa je dijagonala BD paralelna sa MN i dva puta duža od nje.
4. Neka je AC dijagonala normalna na krak BC. Tada možemo konstruisati pravougli trougao ABC (date katete). Zatim iz temena C konstruišemo pravu paralelnu pravoj AB. Presek ove prave i kružnice sa centrom A, poluprečnika 39 mm daje tačku D.

Iz pravouglog trougla ABC, po Pitagorinoj teoremi dobijamo da je AB=75 mm. Visinu trapeza dobijamo iz visine pravoglog trougla ABC koju dobijamo preko površine, h=36 mm. Projekcije krakova na osnovicu AB izračunaćemo iz pravouglih trougloa AFD i BCE. Tako imamo x=15 mm i y=27 mm. Nepoznatu osnovicu dobijamo iz b=a-x-y= 33 mm.

Odavde je O=192 mm i P=1944 mm².